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z=f(x,y)の数値的近似

説明を簡単にするために Figure: 3のように 四角形を構成する格子点の座標を (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4) とし, 格子点における関数値をそれぞれ z1, z2, z3, z4 とする. 格子内のある点 (x0,y0) を考え z1, z2, z3, z4 を関数 z=f(x,y) の (x0,y0)のまわりの展開の形で表すと次のようになる.
  
z1 = $\displaystyle z_0 + \frac{\partial f}{\partial x} (x_1-x_0)
+ \frac{\partial f}{\partial y} (y_1-y_0) +O(\Delta^2)$ (1)
z2 = $\displaystyle z_0 + \frac{\partial f}{\partial x} (x_2-x_0)
+ \frac{\partial f}{\partial y} (y_2-y_0) +O(\Delta^2)$ (2)
z3 = $\displaystyle z_0 + \frac{\partial f}{\partial x} (x_3-x_0)
+ \frac{\partial f}{\partial y} (y_3-y_0) +O(\Delta^2)$ (3)
z4 = $\displaystyle z_0 + \frac{\partial f}{\partial x} (x_4-x_0)
+ \frac{\partial f}{\partial y} (y_4-y_0) +O(\Delta^2)$ (4)

ここで $\Delta$ は (x0,y0) から各格子点までの距離程度の大きさを示し, たかだか格子間隔程度である. (x0,y0) として4つの格子点の座標の平均値
  
x0 = $\displaystyle \frac{1}{4} (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$ (5)
y0 = $\displaystyle \frac{1}{4} (y_1 + y_2 + y_3 + y_4)$ (6)

を代入して, 上式の辺々足し合わせると,1次の項がすべて消去されて

 \begin{displaymath}
z_0 = \frac{1}{4} (z_1 + z_2 + z_3 + z_4) + O(\Delta^2)
\end{displaymath} (7)

となる.


  
Figure 3: 四角形格子の分割
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}
(120,120)
\put(10,10){\circle*{5}...
...){(3)}
\put(20,60){(4)}
\put(90,45){(2)}
\end{picture}\end{center}\end{figure}

さて曲面 z=f(x,y) の近似方法であるが, 式(5),(6) の (x0,y0) を用いて, Figure: 3のように, 四角形の領域を4個の三角形の領域に分割する. そして, 式(7)の右辺第1項をとった z0 用いて, それぞれの部分領域の z=f(x,y) を平面で近似することにする. 座標 (x0,y0,z0), (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) の3点のつくる三角領域(Figure: 3の(1))を考えると, 1階の偏微分係数は(1),(2)を連立して解いて,

  
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ = $\displaystyle \frac{(z_1-z_0)(y_2-y_0)-(z_2-z_0)(y_1-y_0)}
{(x_1-x_0)(y_2-y_0)-(x_2-x_0)(y_1-y_0)} + O(\Delta)$ (8)
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ = $\displaystyle \frac{(z_1-z_0)(x_2-x_0)-(z_2-z_0)(x_1-x_0)}
{(y_1-y_0)(x_2-x_0)-(y_2-y_0)(x_1-x_0)} + O(\Delta)$ (9)

となる. 平面近似は関数 z=f(x,y) を (x0,y0) のまわりで展開した

 \begin{displaymath}
z = f(x,y) = z_0 + \frac{\partial f}{\partial x} (x-x_0)
+ \frac{\partial f}{\partial y} (y-y_0) + O(\Delta^2)
\end{displaymath} (10)

を最右辺の1次の項で打ち切ったものに対応し, z0 および $\partial f/\partial x$, $\partial f / \partial y$ としてそれぞれ (7) および (8),(9) を代入して近似式が完成する. これらの係数も考慮したトータルの打ち切り誤差も $O(\Delta^2)$ となる. 他の3つの三角形領域に対しても同様の平面近似を行う.


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Amane TANAKA
2000-04-23