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等高線の数値的近似

分割してできた三角形領域に対する z=f(x,y) の近似曲面と 平面 z=zc の交線が, この部分領域における等高線に対する近似曲線である. z=f(x,y) を平面で近似しているので, 等高線は三角形の辺や頂点上に両端点をもつ直線線分となる (Figure: 4). たとえば $z_c \in (z_0, z_1)$ のとき (x0,y0) と (x1,y1) を結ぶ 辺を等高線が通過する. この通過点の座標を (x,y) とすると, これは (x0,y0) と (x1,y1) 結ぶ直線上にあることから,

\begin{displaymath}y-y_0 = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} (x-x_0)
\end{displaymath} (11)

の関係がある. これを(10)に代入して y を消去すると, この端点の x 座標は

\begin{displaymath}x = x_0 + \frac{1}{
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x...
...}
\displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}
}(z-z_0) + O(\Delta^2)
\end{displaymath} (12)

となる. 同様に, x を消去して,

\begin{displaymath}y = y_0 + \frac{1}{
\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x...
...splaystyle\frac{\partial f}{\partial y}
}(z-z_0) + O(\Delta^2)
\end{displaymath} (13)

となる. $\partial f/\partial x$ および $\partial f / \partial y$に対して (8) および (9) を代入して展開しても, 打ち切り誤差のオーダーは変化せず, 整理すると結局, 単純な直線近似式,
x = $\displaystyle x_0 + \frac{x_1-x_0}{z_1-z_0} (z-z_0) +O(\Delta^2)$ (14)
y = $\displaystyle y_0 + \frac{y_1-y_0}{z_1-z_0} (z-z_0) +O(\Delta^2)$ (15)

となる. 他端点についても同様である.


  
Figure 4: 三角形領域の等高線
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{picture}
(120,60)
\put(10,10){\circle*{5}}...
... \put(70,10){\line(-1,2){20}}
\thinlines
\end{picture}\end{center}\end{figure}



Amane TANAKA
2000-04-23