MathVision for High 操作説明書(数学C)

■一次変換

■放物線・楕円・双曲線

■直線の媒介変数表示

■円・楕円の媒介変数表示

■リサージュ曲線

■極座標による曲線群

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■一次変換
教育目的:
  • 平面の一次変換に親しませる
  • 一次変換の結果、どのように平面図形が変化するか、直感的に理解させる。
初期状態:
  • 初期状態においては、変換行列は単位行列であり、1列目の列ベクトルは青で、2列目の列ベクトルは赤で示されています。また、変換前のベクトルv=(2,3)は緑で、変換後のベクトルv'は赤紫で表示されています。
  • フォーカスは、変換行列の1行1列に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがあるベクトル(行列の列ベクトル含む)を、マウスの位置の位置ベクトルに変化させます。
  • を押すと、背景に絵が表示され、現在の変換行列が表す変換に従ってゆがみます。これによって、現在の変換がどのようなものか、視覚的に理解することができます。
  • を押すと、変換行列の2つの列ベクトルがなす角が固定されます。この状態で列ベクトルを変化させれば、図形の回転が観察できます。ただし、ベクトルの成分をキーボードから直接入力した場合には、列ベクトルのなす角は固定されません。
  • を押すと、変換行列の列ベクトルをクリック/ドラッグで変化させる際に、その長さが固定されます。ただし、成分をキーボードから直接入力した場合には、列ベクトルの長さは固定されません。
  • を押すと、変換行列の2つの列ベクトルの長さ比が固定され、一方の列ベクトルの長さを変えると、他方の列ベクトルの長さも比例して変化するようになります。これをと組み合わせれば、変換を拡大・縮小と回転のみに制限することができます。


■放物線・楕円・双曲線
教育目的:
  • 円錐曲線に親しませる
  • 円錐曲線の焦点や準線、漸近線について、直感的に理解させる。
  • 係数の違いによる曲線の分類について考えさせる。
初期状態:
  • 初期状態においては、yy=4pxの形の放物線で、p=1になっています。
  • フォーカスは、pの部分に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがある係数を変化させ、グラフがマウスカーソルの座標を通過するようにします。
  • 式の後ろにあるを押すと、数式が放物線1(yy=4px型)、放物線2(xx=4py型)、楕円、双曲線1(xx-yy=1型)、双曲線2(xx-yy=-1型)、展開形(axx+byy+cx+dy+e=0)の順に変化し、グラフもそれに対応するものに切り替わります。
  • 標準形の式の後ろにあるを押すと、グラフを変えずに式を展開します。また、展開形の式の後ろにあるを押すと、グラフを変えずに式を標準形にします。
  • を押すと、放物線の場合は「準線、焦点、グラフ上の点から準線に下ろした垂線、グラフ上の点から焦点までの線分、各線分の長さ」が、楕円の場合は「焦点、グラフ上の点から焦点までの線分、各線分の長さ」が、双曲線の場合は「漸近線、グラフ上の点から焦点までの線分、各線分の長さ」が表示されます。また、グラフ上の点は時間とともに移動していきます。
  • をONにすると、が現れます。を押すと、グラフ上を移動している点が停止し、線分の長さなどが見やすくなります。
  • を押すと、円錐曲線の数式が追加されます。ただし、分数を含んだ背の高い式であるため、追加できる数式は1本だけです。


■直線の媒介変数表示
教育目的:
  • 直線・曲線の媒介変数表示に親しませる
  • 媒介変数の役割について、直感的に理解させる。
初期状態:
  • 初期状態においては、x=t,y=tになっています。
  • フォーカスは、x側のtの係数に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがある係数を変化させ、グラフがマウスカーソルの座標を通過するようにします。
  • を押すと、t=0の位置に青い矢印が、t=-5〜5の範囲にゆっくり動く赤い矢印が表示されます。これによって、媒介変数tにより直線上の位置がどう決まるか、直感的な理解を助けます。
  • をONにすると、が現れます。を押すと、グラフ上を移動している矢印が停止します。


■円・楕円の媒介変数表示
教育目的:
  • 曲線の媒介変数表示に親しませる。
  • 媒介変数の役割について、直感的に理解させる。
  • 極座標の概念につながる、円や楕円の媒介変数表示に親しませる
初期状態:
  • 初期状態においては、x方向、y方向共に半径は5になっています。また、x方向、y方向の半径は連動するようになっています。
  • フォーカスは、x側の半径に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがある係数を変化させ、グラフがマウスカーソルの座標を通過するようにします。
  • を押すと、θ=0の位置に青い矢印が、θ=0〜2πの範囲にゆっくり動く赤い矢印が表示されます。これによって、媒介変数θにより曲線上の位置がどう決まるか、直感的な理解を助けます。
  • をONにすると、が現れます。を押すと、グラフ上を移動している矢印が停止します。
  • を押すと、x方向、y方向の半径が連動しなくなり、別々に変更することができるようになります。これにより、楕円を作ることができます。ただし、その場合、グラフエリアに曲線が通れない領域が生じるので、そのような領域をクリックすると、ヒットマークが表示され、グラフは変化しません。


■リサージュ曲線
教育目的:
  • 曲線の媒介変数表示に親しませる。
  • 工学的に重要である、リサージュ曲線に親しませる。
  • 位相の概念に触れさせる。
初期状態:
  • 初期状態においては、x=8cos(3θ)、y=8sinθになっています。
  • フォーカスは、x側の半径に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがある係数を変化させ、グラフがマウスカーソルの座標を通過するようにします。ただし、リサージュ曲線は複雑であるため、まだ若干の不具合が残っており、場合によっては曲線がクリック座標を通過しないこともあります。
  • を押すと、θ=0の位置に青い矢印が、θ=0〜2πの範囲に動く赤い矢印が表示されます。これによって、媒介変数θにより曲線上の位置がどう決まるか、直感的な理解を助けます。
  • を押すと、y側の位相(sinの中の定数項)が時間の経過とともに自動的に変化するようになります。変動範囲は、ボタンが押された時点での位相〜その位相+2πです。
  • を押すと、によって表示されている矢印や、によって動いている曲線が停止します。


■極座標による曲線群
教育目的:
  • 極座標の概念に親しませる。
  • 極座標により、曲線表現の自由度が上がることを理解させる。
初期状態:
  • 初期状態においては、曲線はアルキメデスの渦巻線(r=aθ,a=1)になっています。
  • フォーカスは、aの部分に置かれます。
操作説明:
  • グラフフィールドでクリック/ドラッグすると、現在フォーカスがある係数を変化させ、グラフがマウスカーソルの座標を通過するようにします。
  • を押すと、θ=0の位置に青い矢印が、θ=0〜4π(正葉曲線の特定条件では最大0〜6π、リマソンは0〜2π)の範囲に動く赤い矢印が表示されます。これによって、角度θにより曲線上の位置がどう決まるか、直感的な理解を助けます。
  • をONにすると、が現れます。を押すと、グラフ上を移動している矢印が停止します。
  • を押すと、数式と表示曲線が切り替えられます。初期状態で表示されるのはアルキメデスの渦巻線ですが、を押すごとに、正葉曲線→リマソン→アルキメデスの渦巻線と切り替わっていきます。
  • を押すと、曲線の式とグラフが追加されます。最大3組までの式・グラフを同時に表示できます。
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