コラッツ・ペイン Ver. 1.00 ヘルプ

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基本操作

青色①⑩⑪は最低限の操作です。
①「初期値」に最大値の制限はありませんが１０進数で１００桁が目安です。
演算開始後⑩「開始」ボタンが無効状態のまま何も表示されない場合は表示前の演算が終了しない状態です、⑪「中止」ボタンをクリックして下さい。
それでも終了しない場合はプログラムを強制終了して下さい。

① 「初期値」演算開始の初期値です。デフォルトは２７。 ② 「基数入力」初期値を基数入力する時にチェックします。 ③ 「基数」処理対象の基数です。通常デフォルト２のままです。 ④ 「倍数」奇数演算の倍数です。通常デフォルト３のままです。 ⑤ 「加算数」奇数演算の加算数です。通常デフォルト１のままです。 ⑥ 「２段階」１サイクルの演算結果を２行表示（３倍の値を追加）します。 ⑦ 「処理基数」処理対象の基数演算を表示します。 ⑧ 「追加基数」処理対象と１０進数以外の基数演算を表示します。 ⑨   追加する基数を指定します。 ⑩ 「開始」演算を開始します。 ⑪ 「中止」演算を中止します。 ⑫ 「自動」初期値を増分しながら連続して演算を実行します。 ⑬ 「増分値」連続演算の増分値です。 ⑭ 「件数」連続演算の実行件数です。 ⑮ 「枝切り」連続演算で同じ値が発生した時にスキップします。 ⑯ 「結果のみ」演算結果だけを表示します。 ⑰ 「値表示」演算中の値を表示します。大きい値の時はチェックを外して下さい。 ⑱ 「桁揃え」あらかじめ桁揃えのために表示前に計算を行います。 ⑲ 「桁幅」桁揃えの計算を省略する時の固定幅を指定します。 ⑳ 「表示編集」表示形式をCSVにします。 ㉑ 「Tab追加」表示タブを追加します。 ㉒ 「削除」最前面に表示されているタブを削除します。 ㉓   演算回数（サイクル数）を表示します。 ㉔   通常演算の２進数表示です。 ㉕   通常演算の１０進数表示と（ ）内は３の剰余数です。 ㉖   偶数演算を省いた２進数表示です。進行が時系列的に表示されます。 ㉗   偶数演算を省いた１０進数表示です。

遊び方（コラッツ問題の要旨） １への収束は必ず２進数の０１の集まりで起こります。たとえば② 「基数入力」をチェックして① 「初期値」に１０１０１（１０進数の２１）を入れると１回の演算で終了します。 しかも、これは後の３．に関係しますが、２１は３の倍数なので、この値を発生することが出来ないため、０１０１０１への連なりはないということです。これが０１０１（１０進数の５）であれば、５に至る値は無数にあります。   11(3), 1101(13), 110101(53), 11010101(213),... また０１の集まりは３の剰余数が順番に出てくるので、３回に１度ずつ３の倍数になります（以下、（ ）内は１０進数値、カンマの後は３の剰余数）。   0101(5,2), 010101(21,0), 01010101(85,1), 0101010101(341,2), 010101010101(1365,0),... 値の拡大は２進数の末尾１１の集まりで起こります。１．と同様に② 「基数入力」をチェックして① 「初期値」には１１１１１（１０進数の３１）を入れると連続４回（✕３＋１）／２の割合で拡大します。 さらに、この１１の集まりを発生する値にも規則があり、１００１（９）から１１１（７）が発生 するように１０の集まりと末尾２桁の０１がそれです。１０１０１００１（１６９）では１１１１１１１（１２７）が発生し、７連続で拡大します。 演算中に３の倍数が現れることはありません。それは、奇数の演算 N✕３＋１ により３の倍数ではなくなってしまうからです。３の倍数が現れるのは初期値だけです。 ですから、①「初期値」を３として、⑫ 「自動」をチェックし、⑬ 「増分値」を６にして「実行」すれば、すべての奇数が現れることになります。もちろん、有限内で。 ㉖の「偶数演算を省いた２進数表示」がコラッツ問題の本質を表しています。 演算ごとに、先頭の１は✕３で２進数の log_2 3 = 1.58桁、末尾は＋１により２桁の伸び率がるため、1.58/2 の比率で末尾の１は必ず先頭の１に追い付くのです。 これは単なる確率ではありません。「サイコロを６回振った目の数」ではなく「１～６の連番のカードを箱から１枚ずつ抜いた数」であり、必ず１～６そろう。違いは数の出る順番というようなものです。 専門家でも「log_2 3/2」を指摘する人はいますが、２進数としての桁位置などは見ないで、単に１０進数値での確率と決め込んでいます。しかし１への収束は確実に起こることなのです。 このことを、以下にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４ケースで示します。

※色の説明
通常の計算
■拡大（前段末尾１１からの影響）
奇数のみの計算
■他の桁の影響を受けていない状態
■収縮の良くなる状態（２桁～４桁以上）
■収縮の悪くなる状態（２桁から１桁）
■拡散が速い状態（連続２桁―前段からの影響）
■収縮の完了（２の乗数）

Ａ．初期値の最上位桁と最下位桁１桁ずつの２つが十分に離れている例（計算回数 10回）

回数	通常の計算（奇数値）		奇数のみの計算
	２進数表記	１０進数	２進数表記	１０進数
0	1000000001	513	1000000001	513
1	110000001	385	11000000100	1540
2	100100001	289	1001000010000	4624
3	11011001	217	11011001000000	13888
4	10100011	163	1010001100000000	41728
5	11110101	245	11110101000000000	125440
6	10111	23	1011100000000000000	376832
7	100011	35	100011000000000000000	1146880
8	110101	53	1101010000000000000000	3473408
9	101	5	101000000000000000000000	10485760
10	1	1	10000000000000000000000000	33554432

Ｂ．初期値の最上位桁と中間桁、最下位桁１桁ずつの３つが十分に離れている例（計算回数 20回）

回数	通常の計算（奇数値）		奇数のみの計算
	２進数表記	１０進数	２進数表記	１０進数
0	1000001000001	4161	1000001000001	4161
1	110000110001	3121	11000011000100	12484
2	100100100101	2341	1001001001010000	37456
3	110110111	439	11011011100000000	112384
4	1010010011	659	1010010011000000000	337408
5	1111011101	989	11110111010000000000	1012736
6	101110011	371	1011100110000000000000	3039232
7	1000101101	557	100010110100000000000000	9125888
8	11010001	209	1101000100000000000000000	27394048
9	10011101	157	100111010000000000000000000	82313216
10	111011	59	1110110000000000000000000000	247463936
11	1011001	89	101100100000000000000000000000	746586112
12	1000011	67	10000110000000000000000000000000	2248146944
13	1100101	101	110010100000000000000000000000000	6777995264
14	10011	19	10011000000000000000000000000000000	20401094656
15	11101	29	111010000000000000000000000000000000	62277025792
16	1011	11	10110000000000000000000000000000000000	188978561024
17	10001	17	1000100000000000000000000000000000000000	584115552256
18	1101	13	11010000000000000000000000000000000000000	1786706395136
19	101	5	1010000000000000000000000000000000000000000	5497558138880
20	1	1	100000000000000000000000000000000000000000000	17592186044416

Ｃ．初期値から連続して拡大し続ける例（計算回数 20回）

回数	通常の計算（奇数値）		奇数のみの計算
	２進数表記	１０進数	２進数表記	１０進数
0	1111111111	1023	1111111111	1023
1	10111111111	1535	101111111110	3070
2	100011111111	2303	10001111111100	9212
3	110101111111	3455	110101111111000	27640
4	1010000111111	5183	10100001111110000	82928
5	1111001011111	7775	111100101111100000	248800
6	10110110001111	11663	10110110001111000000	746432
7	100010001010111	17495	1000100010101110000000	2239360
8	110011010000011	26243	11001101000001100000000	6718208
9	1001100111000101	39365	1001100111000101000000000	20154880
10	1110011010101	7381	11100110101010000000000000	60465152
11	10101101	173	1010110100000000000000000000	181403648
12	1000001	65	100000100000000000000000000000	545259520
13	110001	49	1100010000000000000000000000000	1644167168
14	100101	37	100101000000000000000000000000000	4966055936
15	111	7	1110000000000000000000000000000000	15032385536
16	1011	11	101100000000000000000000000000000000	47244640256
17	10001	17	10001000000000000000000000000000000000	146028888064
18	1101	13	110100000000000000000000000000000000000	446676598784
19	101	5	10100000000000000000000000000000000000000	1374389534720
20	1	1	1000000000000000000000000000000000000000000	4398046511104

Ｄ．初期値の大きさに比べて収縮の遅い例（計算回数 41回）

回数	通常の計算（奇数値）		奇数のみの計算
	２進数表記	１０進数	２進数表記	１０進数
0	11011	27	11011	27
1	101001	41	1010010	82
2	11111	31	11111000	248
3	101111	47	1011110000	752
4	1000111	71	100011100000	2272
5	1101011	107	1101011000000	6848
6	10100001	161	101000010000000	20608
7	1111001	121	1111001000000000	61952
8	1011011	91	101101100000000000	186368
9	10001001	137	10001001000000000000	561152
10	1100111	103	110011100000000000000	1687552
11	10011011	155	10011011000000000000000	5079040
12	11101001	233	111010010000000000000000	15269888
13	10101111	175	10101111000000000000000000	45875200
14	100000111	263	1000001110000000000000000000	137887744
15	110001011	395	11000101100000000000000000000	414187520
16	1001010001	593	1001010001000000000000000000000	1243611136
17	110111101	445	11011110100000000000000000000000	3732930560
18	10100111	167	1010011100000000000000000000000000	11207180288
19	11111011	251	11111011000000000000000000000000000	33688649728
20	101111001	377	1011110010000000000000000000000000000	101200166912
21	100011011	283	100011011000000000000000000000000000000	303868936192
22	110101001	425	1101010010000000000000000000000000000000	912680550400
23	100111111	319	100111111000000000000000000000000000000000	2740189134848
24	111011111	479	1110111110000000000000000000000000000000000	8229157339136
25	1011001111	719	101100111100000000000000000000000000000000000	24704651886592
26	10000110111	1079	10000110111000000000000000000000000000000000000	74148315398144
27	11001010011	1619	110010100110000000000000000000000000000000000000	222513665671168
28	100101111101	2429	10010111110100000000000000000000000000000000000000	667678435966976
29	1110001111	911	111000111100000000000000000000000000000000000000000	2003310185807872
30	10101010111	1367	10101010111000000000000000000000000000000000000000000	6012129580679168
31	100000000011	2051	1000000000110000000000000000000000000000000000000000000	18040786788548608
32	110000000101	3077	11000000010100000000000000000000000000000000000000000000	54131156458668032
33	1001000001	577	1001000001000000000000000000000000000000000000000000000000	162411061562048512
34	110110001	433	11011000100000000000000000000000000000000000000000000000000	487514659662856192
35	101000101	325	1010001010000000000000000000000000000000000000000000000000000	1463669878895411200
36	111101	61	11110100000000000000000000000000000000000000000000000000000000	4395513236313604096
37	10111	23	1011100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000	13258597302978740224
38	100011	35	100011000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000	40352252661239644160
39	110101	53	1101010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000	122209679488325779456
40	101	5	101000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000	368934881474191032320
41	1	1	10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000	1180591620717411303424

最後にコラッツの問題の真髄

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