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    　円における、
    　内接・外接多角形の長さにおける練習

    　Copy_Right　Miyama.

    　２０２６February

    　kazutomi,miyama.sakura.ne.jp
    　KazutomiMiyamaSub@gmail.com

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    ＜はじめに・免責＞

    　数学の問題を調べているうちにこの概念の
    整頓が必要なことに気づき、練習の思考を備
    忘録として発表するものです。
    　この文書を閲覧配布することにより生じた
    あらゆる不利益に対して作者は何らの責任を
    負わないこととします。
    　フリードキュメントです、閲覧配布は自由
    です。

    　　　　　＊

    　円周率を幾何手法にて極限にてもとめる、
    古来よりの手法として円が内接・外接する正
    多角形を考え、その挟み込み極限として円弧
    の長さを求める概念があります。

    　ここでは、θ＝２π/ｎ　における自然数ｎ
    （正ｎ角形に対応）を便宜的に正の実数と考
    え、その三角関数を用いて、
    　内接外接それぞれの多角形の辺の長さを考
    えるものです。もちろんその一辺の長さのｎ
    倍がその多角形の外周の長さになります。

    　数学的には同等ですが、出発点として二通
    りの方法が考えられます。扇型の角をθとし
    て

    ・cosθを用いるもの
    ・tanθを用いるもの

    　です。それぞれの代数整理について記しま
    す。

    ・cosθを用いるもの

    　外接する多角形の一辺の長さをＴ、
    　内接する多角形の一辺の長さをｔ

    　とおきます。

    　t の長さは 余弦定理により以下、ピタゴ
    ラスの定理により

     t^2 = sin^2 θ +(1-cosθ)^2

         = sin^2 θ + cos^2 θ
                   - 2*cosθ
                   + 1

         = 2 - 2*cosθ
         = 2(1-cosθ)   ......(1)

    　この辺の半径からなる平行四辺形を考える
    とき、その対角線の長さを s とすると、ピタ
    ゴラスの定理により

        t^2   s^2
     1= --- + ---
         4     4

     4= t^2 + s^2

              s^2 = 4-t^2
                  = 4-2(1-cosθ)
                  = 2+2*cosθ
                  = 2(1+cosθ)

    　こじつければこれは平行四辺形の余弦定理。

    　ここで T　の辺と t　の辺は所属する三角
    形により相同ですから

              s
     T:t = 1:---
              2

      T    1
     ---=-----
      t    s
          ---
           2

           2
        = ---
           s

            t
     T = 2*---
            s

             1-cosθ
     T^2 = 4*------   ......(2)
             1+cosθ

    　それぞれの式の長さを n 倍すれば多角形
    の外周を求めることが出来ます。

    ・tanθを用いるもの

    　この場合は外接する多角形だけを考えます。
    　相関図が大きくなります。

    　図上の q の長さは多角形の辺の半分に相
    当します。前図では図の中央で接していまし
    たが、これは左右両辺で接しています。

    　幾何的には同一ですので、

        T
     q=---
        2

    　が証明できれば、上記の図と証明は
    　相同であることをになります

    　斜線影の直角三角形を考えます。
    　斜辺は cosθ の逆数で値が大きくなりま
    す。

    　これもピタゴラスの定理により
        1
     (----- -1)^2 + q^2 = (tanθ-q)^2
      cosθ

        1          1             sin^2 θ      sinθ
      ------- -2*-----+1 +q^2 = ------- - 2*q*----- +q^2
      cos^2 θ    cosθ            cos^2 θ      cosθ

     q^2 を払い、 cos^2 θ で割って

     1 -2*cosθ +cos^2 θ = sin^2 θ   - 2*q*sinθcosθ
                        = 1-cos^2 θ - 2*q*sinθcosθ

     1 を左右相殺、
     cosθ で割って

       -2 + cosθ = -cosθ -2*q*sinθ

        2*(-1+cosθ)=-2*q*sinθ

        1-cosθ
        ------ =q
         sinθ

    ※同一の証明であることを確認します。

         (1-cosθ)^2   (1-cosθ)^2   (1-cosθ)^2
     q^2=---------- = ---------- =-----------------
          sin^2 θ     1-cos^2 θ    (1-cosθ)(1+cosθ)

         1-cosθ   T^2
       =------- = ---
         1+cosθ    4

     0＜q,0＜T ゆえに

        T
     q=---
        2

    ・証明終わり

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    　ファイルの終わり

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